Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.1 Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Physikalische Herleitung der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . 8 1.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.1 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Elliptische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Das Dirichlet-Problem fur eine Kreisscheibe. Das Poisson-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Fundamentallösungen. Die Greensche Funktion. . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6 Ein Neumann-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.7 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Finite Differenzenverfahren für elliptische Gleichungen : : : : 45 4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Die Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Die Methode der finiten Elemente für elliptische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Ein Modellproblem in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Eine a posteriori Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.7 Eine Methode der gemischten finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . 75 5.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6 Das elliptische Eigenwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Numerische Lösung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen: : : : : : : : : : : : : : :
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Beschreibung


Das Buch ist für Studenten der angewandten Mathematik und der Ingenieurwissenschaften auf Vordiplomniveau geeignet. Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindung der Theorie linearer partieller Differentialgleichungen mit der Theorie finiter Differenzenverfahren und der Theorie der Methoden finiter Elemente. Für jede Klasse partieller Differentialgleichungen, d.h. elliptische, parabolische und hyperbolische, enthält der Text jeweils ein Kapitel zur mathematischen Theorie der Differentialgleichung gefolgt von einem Kapitel zu finiten Differenzenverfahren sowie einem zu Methoden der finiten Elemente. Den Kapiteln zu elliptischen Gleichungen geht ein Kapitel zum Zweipunkt-Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen voran. Ebenso ist den Kapiteln zu zeitabhängigen Problemen ein Kapitel zum Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen vorangestellt. Zudem gibt es ein Kapitel zum elliptischen Eigenwertproblem und zur Entwicklung nach Eigenfunktionen. Die Darstellung setzt keine tiefer gehenden Kenntnisse in Analysis und Funktionalanalysis voraus. Das erforderliche Grundwissen über lineare Funktionalanalysis und Sobolev-Räume wird im Anhang im Überblick besprochen.

Aus den Rezensionen:

"Die gegenwärtige Darstellung unternimmt es, die elementare Theorie der (linearen) partiellen Differentialgleichungen in enger Verbindung mit numerischen Verfahren darzustellen. ... Nach einem eindimensionalen Randwertproblem werden zunächst elliptische Gleichungen analytisch und dann numerisch diskutiert ... auch Eigenwertprobleme fehlen nicht. ... Erfreulicherweise fehlen auch hyperbolische Gleichungen nicht ... Zusätzlich ... findet man einen kurzen Überblick über einige wichtige Methoden zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme. - Insgesamt bietet die Darstellung ... eine klare Einführung in grundlegende Konzepte sowohl der Theorie als auch der Numerik der drei Standardtypen linearer partieller Differentialgleichungen."

(H. Muthsam, in: Monatshefte für Mathematik, 2006, Vol. 148, S. 353f)

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

09.03.2005

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

272

Maße (L/B/H)

23,3/15,6/1,9 cm

Gewicht

890 g

Beschreibung

Details

Einband

Taschenbuch

Erscheinungsdatum

09.03.2005

Verlag

Springer Berlin

Seitenzahl

272

Maße (L/B/H)

23,3/15,6/1,9 cm

Gewicht

890 g

Auflage

2005

Originaltitel

Texts in Applied Math. Vol. 45: Partial Differential Equations with Numerical Methods

Übersetzer

M. Krieger-Hauwede

Sprache

Deutsch

ISBN

978-3-540-20823-5

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